Matemáticas y Malabares

Eh, que se supone que en este blog también iba a hablar de matemáticas. Por eso mismo, y visto el éxito que parece que tuvo (que bien actuáis), os voy a volver a hablar de matemáticas y malabares.

Este oso puede hacerlo porque sabe matemáticas.

La historia de los malabares es antigua. Desde sus primeras apariciones en grabados egipcios, se conoce que dichos juegos han existido en numerosas civilizaciones tanto occidentales como orientales a lo largo de la historia. Como no podía ser de otra manera, era cuestión de tiempo que las matemáticas, presentes en todos los conceptos del universo, terminaran estudiando este movimiento que trata sobre ideas tan lógicas como patrones y secuencias.

Esta relación llega de manera natural con la notación SITESWAP, utilizada por los malabaristas para compartir entre ellos los patrones de una secuencia malabar. En esta notación a cada lanzamiento se le asigna un número que representa la "altura" o el "tiempo" de lanzamiento, entendido como el número de lanzamientos ocurridos desde que una misma bola es lanzada, recibida y vuelta a lanzar (es decir, en un lanzamiento de altura 3, se harían otros dos lanzamientos antes de recibir esta bola).

Solo intentar que no se caigan no parecía tan divertido.

De esta manera podemos establecer esquemas de patrones clásicos como 3, 441 (de tres bolas) o 552 (4 bolas).

Para conocer más sobre estas secuencias malabares hay dos resultados principales:

1. El Teorema de la Media
   
   Nos permite saber el número de bolas que son necesarias para realizar una secuencia malabar. Para ello, basta realizar la media aritmética de todos los números de la secuencia.
   
   De esta forma, patrones como 3 o 441 usan 3/1=(4+4+1)/3=3 bolas mientras que 552 o 534 usan (5+5+2)/3=(5+3+4)/3=4 bolas.
2. El Test de Permutación
   
   Esta prueba se realiza para comprobar si una secuencia de números enteros es o no malabar.
   
   Para ello, a esta secuencia de 𝑛 números se le sumaría la cantidad 123 ... 𝑛. Para ser una secuencia malabar, el resultado final se debe poder permutar de forma que los números queden escalonados, esto es, ordenados de menor a mayor, habiendo un incremento de una unidad entre números consecutivos.
   
   Por ejemplo, para la secuencia 534, que consta de tres números, quedaría:
   
   534+123=657; que reordenando queda 567, luego es secuencia malabar.
   
   Sin embargo, el patrón 532, tenemos que 532+123=655, luego no es malabar.

Una vez conocidas las secuencias, cabe preguntarse como interaccionan entre ellas. Para ello, pasamos a estudiar los estados malabares.

En un instante de tiempo, si las bolas se encuentran en el aire y van a caer, por ejemplo, en los instantes 1,2 y 4 siguientes, entonces se dice que el estado malabar en ese instante es:

110100000 ….

Es decir, toma el valor 1 en los momentos en lo que una bola caerá y 0 en los que no. Desde este estado, la primera bola que cae se podrá lanzar a cualquier altura salvo 1 ó 3 de forma que no caigan dos bolas a la vez. Si la altura es por ejemplo 4, se pasaría al estado construido mediante la eliminación del primer 1 y la sustitución del cuarto 0 por un 1, es decir:

10110000 …

De esta forma, recopilando los posibles lanzamientos (alturas) y sus estados malabares asociados, es posible construir una estructura denominada grafo malabar.

Dejamos como ejemplo el grafo de tres bolas y altura máxima 5:

A partir de este grafo malabar, nos centraremos en localizar aquellos recorridos que partan de un estado malabar inicial, y concluyan de nuevo en dicho estado. A estos recorridos los denominamos ciclos cerrados. La secuencia de alturas asociadas a dicho ciclo cerrado (al recorrido de este) forma una secuencia malabar.

Para que veáis que todo se puede complicar al ir subiendo el nivel, os añado también el bonito grafo de tres bolas y altura máxima 6:

Fácil de entender, ¿verdad?

Por supuesto, gracias a Indalecio por hacernos presentar algo, sólo con esas instrucciones.